חורף 2023 (שאלון 471) – שאלה 1סדרות 571 · שיעור 34
שאלון 471 – חורף 2023, שאלה 1
שיעור 34: חורף 2023 (שאלון 471) – שאלה 1
פרק 7 – שאלות בגרות 472 – סדרות (תרגול ברמת 4 יחידות)
1נוסח השאלה
2סעיף א – הדקה הרביעית וארבע הדקות
3סעיף ב – נוסחה ל־n דקות
4סעיף ג – למה לא 2,500 ב־25 דקות
5סעיף ד – המרחק המינימלי בדקה הראשונה
📄 נוסח השאלה
יוסי רץ במסלול מסוים. בדקה הראשונה הוא רץ 75 מטרים. בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, הוא רץ מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה. בתשובותיכם דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
א. (1) מהו המרחק שרץ יוסי במשך הדקה הרביעית? (2) מהו המרחק הכולל שרץ יוסי במשך ארבע הדקות הראשונות של הריצה?
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. כתבו נוסחה לחישוב המרחק הכולל שרץ יוסי במשך n הדקות הראשונות של הריצה.
ג. יוסי רוצה לרוץ 2,500 מטרים סך הכול, אך לרשותו עומדות 25 דקות בלבד לעשות זאת. הסבירו מדוע לא יצליח יוסי לעבור 2,500 מטרים ב־25 דקות.
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. דני רץ באותו המסלול. בדקה הראשונה הוא רץ מרחק מסוים. גם הוא רץ בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה. חשבו מהו המרחק הקצר ביותר שעליו לרוץ בדקה הראשונה כדי לעבור מרחק של 2,500 מטרים ב־25 דקות.
סעיף א – הדקה הרביעית וארבע הדקות
המרחקים בכל דקה הם סדרה הנדסית: a1 = 75 , q = 1.02.
a4 = 75 · 1.02³ = 75 · 1.061208 ≈ 79.59
📐 סדרה הנדסית
(2) S4 = 75(1.02⁴ − 1)1.02 − 1 = 75 · 0.082430.02 ≈ 309.12
✅ פתרון סופי: (1) 79.59 מטר (2) 309.12 מטר
📐 סדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
סעיף ב – נוסחה ל־n דקות
Sn = 75(1.02ⁿ − 1)0.02 = 3750(1.02ⁿ − 1)
📐 סדרה הנדסית
✅ פתרון סופי: Sn = 3750(1.02ⁿ − 1)
📐 סדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
סעיף ג – למה לא 2,500 ב־25 דקות
1.02²⁵ ≈ 1.64061
S25 = 3750(1.64061 − 1) = 3750 · 0.64061 ≈ 2402.27
ב־25 דקות יוסי עובר רק כ־2402 מטרים, פחות מ־2500.
✅ פתרון סופי: S25 ≈ 2402.27 < 2500 – לא יצליח
סעיף ד – המרחק המינימלי בדקה הראשונה
נסמן את המרחק של דני בדקה הראשונה a1. צריך S25 ≥ 2500. הקטן ביותר – כשמתקבל בדיוק 2500:
a1(1.02²⁵ − 1)0.02 = 2500
📐 סדרה הנדסית
a1 · 0.64061 = 50
a1 = 500.64061 ≈ 78.05
✅ פתרון סופי: ≈ 78.05 מטר
📐 סדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
📌 סיכום התשובות
סעיף א
79.59 ; 309.12
סעיף ב
Sn = 3750(1.02ⁿ − 1)
סעיף ג
≈ 2402.27 < 2500
סעיף ד
≈ 78.05 מטר
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא